10th Maths HM

Chapter 4:द्विघात समीकरण

by DILEEP GAUTAM

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) – कक्षा 10 गणित

द्विघात समीकरण कक्षा 10 के गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है। इसे समझना और इसके प्रकार व हल करने के तरीके सीखना बोर्ड परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए आवश्यक है। यह नोट्स आपको द्विघात समीकरण के सिद्धांत, प्रकार, और उनके हल के तरीकों को विस्तार से समझाने के लिए तैयार किया गया है।

द्विघात समीकरण की परिभाषा

एक ऐसा समीकरण जिसमें चर (variable) का अधिकतम घातांक (degree) 2 होता है, उसे द्विघात समीकरण कहते हैं। इसे सामान्य रूप से निम्न प्रकार लिखा जाता है:

ax^2+bx+c=0

जहाँ:

  • a, b, और c वास्तविक संख्याएँ हैं,
  • a≠0 (क्योंकि a=0 होने पर यह रैखिक समीकरण बन जाएगा),
  • x स्वतंत्र चर है।

 

द्विघात समीकरण का ग्राफ

द्विघात समीकरण का ग्राफ “परबोला” (Parabola) होता है।

  • यदि a>0 तो परबोला ऊपर की ओर खुलेगा।
  • यदि a<0 तो परबोला नीचे की ओर खुलेगा।

द्विघात समीकरण के मूल (Roots या Zeros)

द्विघात समीकरण के मूल वे मान होते हैं जिन पर समीकरण संतुलित (सत्य) होता है।
यदि ax^2+bx+c=0हो, तो इसके मूल x1 और x2 होते हैं।
समीकरण के मूल निम्नलिखित गुणा सूत्र से जुड़े होते हैं:

  • मूलों का योग: −b/a
  • मूलों का गुणनफल: c/a

द्विघात समीकरण हल करने के तरीके

द्विघात समीकरण को हल करने के चार प्रमुख तरीके हैं:

 

 

 

4. ग्राफ द्वारा हल (Graphical Method)

द्विघात समीकरण का ग्राफ खींचकर, xx-अक्ष को जहाँ काटता है, वहीं इसके मूल होते हैं।
विशेष:

  • यदि ग्राफ xx-अक्ष को नहीं काटता, तो मूल काल्पनिक होते हैं।
  • यदि ग्राफ एक बिंदु पर xx-अक्ष को छूता है, तो समान मूल होते हैं।

द्विघात समीकरण के उपयोग

  1. वास्तविक जीवन में:
    • क्षेत्रफल संबंधी समस्याएँ।
    • गति और समय से जुड़े प्रश्न।
  2. भौतिकी में:
    • प्रक्षेप्य गति (Projectile Motion)।
    • ऊर्जा गणना।
  3. आर्थिक समस्याएँ:
    • लाभ और हानि।

 

द्विघात समीकरण के उपयोग (Applications of Quadratic Equations)

द्विघात समीकरण केवल गणित तक सीमित नहीं है, बल्कि इसका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों और वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में किया जाता है। निम्नलिखित कुछ महत्वपूर्ण अनुप्रयोग दिए गए हैं:

1. दैनिक जीवन में उपयोग

  1. आकार और क्षेत्रफल संबंधी समस्याएँ:
    • जब किसी बगीचे, फर्श, या टाइल के क्षेत्रफल को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है।
    • उदाहरण: x2+5x−24=0x^2 + 5x – 24 = 0 जैसे समीकरणों का उपयोग।
  2. मूल्य निर्धारण और लाभ:
    • यदि उत्पाद की कीमत और बेचे गए उत्पादों की संख्या पर लाभ निर्भर करता है, तो अधिकतम लाभ का निर्धारण द्विघात समीकरण से किया जाता है।
    • उदाहरण: अधिकतम बिक्री मूल्य का पता लगाना।

2. भौतिकी और इंजीनियरिंग में

  1. प्रक्षेप्य गति (Projectile Motion):
    • किसी वस्तु को एक कोण पर फेंकने पर, उसकी गति को द्विघात समीकरण से मॉडल किया जाता है।
    • वस्तु की अधिकतम ऊँचाई और अधिकतम दूरी का निर्धारण।
  2. स्ट्रक्चरल डिजाइन:
    • पुलों और इमारतों की डिज़ाइन में द्विघात समीकरण का उपयोग किया जाता है, जैसे मेहराब के लिए परबोला की आकृति।
  3. इलेक्ट्रॉनिक्स:
    • विद्युत परिपथों (Electrical Circuits) में प्रतिरोध, धारिता, और प्रेरकत्व के संबंध की गणना।

3. व्यवसाय और अर्थशास्त्र में

  1. लाभ और हानि की गणना:
    • द्विघात समीकरण का उपयोग व्यवसायों में अधिकतम लाभ या न्यूनतम हानि का निर्धारण करने के लिए किया जाता है।
  2. मूल्य और उत्पादन के संबंध:
    • किसी उत्पाद के मूल्य और उत्पादन क्षमता के बीच संबंध को द्विघात समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

4. खेलों में

  1. फुटबॉल, क्रिकेट, और गोल्फ:
    • गेंद की उड़ान की पथरेखा (Trajectory) को मॉडल करने के लिए।
    • उदाहरण: गेंद की अधिकतम ऊँचाई और दूरी का निर्धारण।

5. खगोल विज्ञान (Astronomy) में

  1. पृथ्वी और ग्रहों की गति:
    • ग्रहों की कक्षाओं और उपग्रहों की गति को पराबोला या द्विघात समीकरणों के माध्यम से समझा जाता है।

6. गणितीय मॉडलिंग में

  1. आबादी की वृद्धि और गिरावट:
    • आबादी के विकास या कमी को द्विघात समीकरण की मदद से मॉडल किया जाता है।
  2. डेटा फिटिंग:
    • किसी डेटा सेट को द्विघात समीकरण के अनुसार फिट करके पूर्वानुमान (Forecasting) किया जाता है।

7. कंप्यूटर विज्ञान और प्रोग्रामिंग में

  1. गेम डिज़ाइन:
    • गेम्स में पथरेखा (Trajectory) की गणना।
    • ग्राफिक्स और 3D मॉडलिंग।
  2. एल्गोरिदम:
    • सॉर्टिंग और सर्चिंग एल्गोरिदम में द्विघात समीकरण का अप्रत्यक्ष उपयोग।

8. कृषि और पर्यावरण में

  1. फसल की योजना:
    • भूमि के अधिकतम उपयोग के लिए क्षेत्रफल और सीमा का निर्धारण।
  2. पानी के स्रोत:
    • नदी के प्रवाह और जलाशय के आकार का मॉडल।

9. रसायन विज्ञान और जैविक विज्ञान में

  1. रासायनिक प्रतिक्रियाएँ:
    • रासायनिक मिश्रणों के संतुलन बिंदु (Equilibrium Point) की गणना।
  2. दवा निर्माण:
    • दवाओं की खुराक और वितरण के निर्धारण।

10. वित्त और बैंकिंग में

  1. साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज:
    • चक्रवृद्धि ब्याज की दर और समय का संबंध द्विघात समीकरण के माध्यम से हल किया जाता है।
    • उदाहरण: P(1+r)2=AP(1 + r)^2 = A

 

सारांश

  • द्विघात समीकरण का अधिकतम घातांक 2 होता है।
  • चार प्रमुख हल विधियाँ: गुणनखंड, पूर्ण वर्ग, सूत्र, और ग्राफ।
  • विवर्ण से मूल का प्रकार ज्ञात किया जा सकता है।

यह अध्याय गणितीय समस्याओं को हल करने में मजेदार और महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। अभ्यास और ध्यानपूर्वक अध्ययन से इसे आसानी से समझा जा सकता है।

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