9th Math HM

Chapter 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

by DILEEP GAUTAM

NCERT SOLUTION FOR CLASS 9TH MATHS CHAPTER 13

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन:

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन गणित के ज्यामिति क्षेत्र में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की अवधारणाएँ ठोस वस्तुओं के विभिन्न आयामों का मापन करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) किसी ठोस वस्तु की बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल है, जबकि आयतन (Volume) उस ठोस वस्तु द्वारा घेरित स्थान का मापन करता है। इन दोनों मापों का उपयोग वास्तुकला, निर्माण, भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

पृष्ठीय क्षेत्रफल

पृष्ठीय क्षेत्रफल को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

  1. सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area – TSA): ठोस वस्तु की सभी बाहरी सतहों का कुल क्षेत्रफल।
  2. वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area – CSA): केवल ठोस वस्तु की घुमावदार सतह का क्षेत्रफल।

आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र

  1. घन (Cube):
    • सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a26a^2
    • जहाँ aa = घन की भुजा।
  2. घनाभ (Cuboid):
    • सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2×(lb+bh+hl)2 \times (lb + bh + hl)
    • जहाँ ll = लंबाई, bb = चौड़ाई, hh = ऊँचाई।
  3. गोलक (Sphere):
    • सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr24\pi r^2
    • जहाँ rr = त्रिज्या।
  4. आयताकार पृष्ठ (Cylinder):
    • सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h+r)2\pi r(h + r)
    • वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh2\pi rh
    • जहाँ rr = त्रिज्या, hh = ऊँचाई।
  5. शंकु (Cone):
    • सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l+r)\pi r (l + r)
    • वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl\pi rl
    • जहाँ ll = शंकु का तिर्यक लंब, rr = त्रिज्या।
  6. अर्द्धगोलक (Hemisphere):
    • सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr23\pi r^2
    • वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr22\pi r^2

आयतन

आयतन का अर्थ है किसी ठोस आकृति द्वारा घेरित त्रि-आयामी स्थान। इसे घन इकाई में मापा जाता है।

आकृतियों के आयतन के सूत्र

  1. घन (Cube):
    • आयतन = a3a^3
    • जहाँ aa = घन की भुजा।
  2. घनाभ (Cuboid):
    • आयतन = l×b×hl \times b \times h
    • जहाँ ll = लंबाई, bb = चौड़ाई, hh = ऊँचाई।
  3. गोलक (Sphere):
    • आयतन = 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3
    • जहाँ rr = त्रिज्या।
  4. आयताकार पृष्ठ (Cylinder):
    • आयतन = πr2h\pi r^2 h
    • जहाँ rr = त्रिज्या, hh = ऊँचाई।
  5. शंकु (Cone):
    • आयतन = 13πr2h\frac{1}{3}\pi r^2 h
    • जहाँ rr = त्रिज्या, hh = ऊँचाई।
  6. अर्द्धगोलक (Hemisphere):
    • आयतन = 23πr3\frac{2}{3}\pi r^3

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के उपयोग

  1. अभियांत्रिकी और निर्माण:
    भवन निर्माण, पुल और अन्य संरचनाओं की डिज़ाइन में सामग्री की आवश्यकता को मापने के लिए पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का उपयोग होता है।
  2. पैकिंग और भंडारण:
    वस्तुओं को रखने के लिए आवश्यक स्थान को मापने के लिए आयतन का उपयोग किया जाता है।
  3. विज्ञान और भौतिकी:
    द्रव, गैस और अन्य सामग्री की मात्रा और सतह से जुड़ी विशेषताओं के अध्ययन में ये अवधारणाएँ उपयोगी होती हैं।
  4. दैनिक जीवन:
    पानी की टंकी, तेल के ड्रम, और अन्य घरेलू उपकरणों की क्षमता को मापने के लिए।

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के विस्तृत उपयोग

1. शिक्षा और गणितीय अनुसंधान

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के प्रश्न स्कूल और उच्च शिक्षा के पाठ्यक्रम में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। विद्यार्थी इन्हें हल करके ठोस ज्यामिति की गहरी समझ विकसित करते हैं। अनुसंधान के क्षेत्र में इनका उपयोग नई ज्यामितीय समस्याओं को सुलझाने और गणना पद्धतियों को विकसित करने में किया जाता है।

2. उद्योग और विनिर्माण

विभिन्न उत्पादों के डिज़ाइन और निर्माण में आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल का ध्यान रखा जाता है। उदाहरण के लिए:

  • पैकेजिंग उद्योग: उत्पाद को एकत्र करने के लिए आवश्यक सामग्री का मापन पृष्ठीय क्षेत्रफल के आधार पर किया जाता है।
  • भवन निर्माण: कंक्रीट, ईंट और पेंट की मात्रा को आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल का उपयोग करके मापा जाता है।
  • तरल पदार्थ की भंडारण क्षमता: टैंकों, पाइप्स, और कंटेनरों का डिज़ाइन उनकी मात्रा के आधार पर तैयार किया जाता है।

3. चिकित्सा और जैव-विज्ञान

शरीर के विभिन्न अंगों, जैसे हृदय, फेफड़े, और रक्त वाहिकाओं का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल मापकर उनका सही आकार और कार्यक्षमता सुनिश्चित की जाती है।

4. खगोल विज्ञान और भूगोल

ग्रहों, तारों और अन्य खगोलीय पिंडों का अध्ययन उनके आयतन और सतह क्षेत्रफल का उपयोग करके किया जाता है।

  • ग्रहों का आयतन: पृथ्वी और अन्य ग्रहों की आंतरिक संरचना और द्रव्यमान का मापन।
  • भौगोलिक संरचनाएँ: पर्वत, नदियाँ और महासागर के क्षेत्रफल और मात्रा का आकलन।

विभिन्न परिस्थितियों में उपयोग के उदाहरण

1. दैनिक जीवन में उपयोग:

  • पानी की टंकी की क्षमता: एक बेलनाकार टंकी की आयतन को मापकर यह निर्धारित किया जाता है कि वह कितने लीटर पानी जमा कर सकती है।
  • पेंट की आवश्यकता का मापन: घर की दीवारों की सतह का कुल क्षेत्रफल मापकर पेंट की मात्रा तय की जाती है।

2. पर्यावरण संरक्षण:

  • वृक्षारोपण: वृक्षों के तनों और शाखाओं का आयतन मापकर लकड़ी का सही उपयोग सुनिश्चित किया जाता है।
  • जल संरक्षण: जलाशयों और बांधों की जल-धारण क्षमता का मापन।

3. खेल और मनोरंजन:

  • खेल उपकरण, जैसे फुटबॉल, बास्केटबॉल और टेबल टेनिस के आयाम उनके आयतन और सतह क्षेत्र के आधार पर निर्धारित होते हैं।

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के गणना में सावधानियाँ

  1. आकृतियों की सही पहचान: ठोस आकृतियों की सही पहचान करना और यह सुनिश्चित करना कि कौन सा सूत्र उपयोग करना है।
  2. इकाइयों का ध्यान रखना: यदि आयाम अलग-अलग इकाइयों में दिए गए हैं, तो उन्हें एक समान इकाई में परिवर्तित करना आवश्यक है।
  3. त्रिज्या, ऊँचाई और अन्य मापदंडों की सटीकता: छोटे अंतर भी गणना में बड़ी त्रुटियाँ ला सकते हैं।
  4. पाई (π\pi) का मान: यदि मान लगभग 3.14 लिया जाता है, तो जटिल गणनाओं में सटीकता प्रभावित हो सकती है।

आकृतियों के तुलनात्मक अध्ययन

आकृति पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र आयतन का सूत्र
घन 6a26a^2 a3a^3
घनाभ 2(lb+bh+hl)2(lb + bh + hl) l×b×hl \times b \times h
गोलक 4πr24\pi r^2 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3
बेलन 2πr(h+r)2\pi r(h + r) πr2h\pi r^2 h
शंकु πr(l+r)\pi r(l + r) 13πr2h\frac{1}{3}\pi r^2 h
अर्द्धगोलक 3πr23\pi r^2 23πr3\frac{2}{3}\pi r^3

Chapter 14: सांख्यिकी

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