कक्षा 9वीं गणित: प्रायिकता (Probability) 

 

1. प्रायिकता का अर्थ (Meaning of Probability)

प्रायिकता गणित की वह शाखा है, जिसमें किसी घटना के होने की संभावना का अध्ययन किया जाता है।

2. प्रायिकता का सूत्र (Formula of Probability)

किसी घटना $E$ की प्रायिकता का सूत्र:

P(E)=अनुकूल परिणामों की संख्यासंभावित परिणामों की कुल संख्याP(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित परिणामों की कुल संख्या}}P(E)=संभावित परिणामों की कुल संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या​

3. महत्वपूर्ण शब्दावली (Important Terminologies)

1. प्रयोग (Experiment): ऐसा कार्य जिसे बार-बार करने पर अलग-अलग परिणाम मिल सकते हैं।
   उदाहरण: सिक्का उछालना।
2. नमूना स्थान (Sample Space): सभी संभावित परिणामों का समूह।
   उदाहरण: एक सिक्का उछालने पर नमूना स्थान = {हेड, टेल}।
3. घटना (Event): नमूना स्थान का कोई उपसमूह।
   उदाहरण: एक पासा फेंकने पर सम संख्या आना।
4. निष्पक्ष प्रयोग (Fair Experiment): ऐसा प्रयोग जिसमें सभी परिणामों की संभावना समान हो।

4. प्रायिकता के गुण (Properties of Probability)

1. प्रायिकता हमेशा $0$ से $1$ के बीच होती है: $$0\le P(E)\le 1$$
2. निश्चित घटना की प्रायिकता $1$ होती है।
3. असंभव घटना की प्रायिकता $0$ होती है।

5. उदाहरण (Examples)

उदाहरण 1: एक सिक्का उछालने पर हेड आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल:
नमूना स्थान: {हेड, टेल}
अनुकूल परिणाम: हेड = 1
कुल परिणाम: 2

P(हेड)=12P(\text{हेड}) = \frac{1}{2}P(हेड)=21​

उदाहरण 2: एक पासा फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता।
हल:
नमूना स्थान: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
अनुकूल परिणाम: {2, 4, 6} (कुल 3)
कुल परिणाम: 6

P(सम संख्या)=36=12P(\text{सम संख्या}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}P(सम संख्या)=63​=21​

6. महत्वपूर्ण बातें (Key Points)

• प्रायिकता वास्तविक जीवन में निर्णय लेने में मदद करती है।
• इसे सांख्यिकी और गणित में विभिन्न तरीकों से उपयोग किया जाता है।

7. व्यावहारिक उपयोग (Practical Applications)

1. मौसम की भविष्यवाणी।
2. क्रिकेट या अन्य खेलों में परिणाम का अनुमान।
3. बीमा और वित्तीय जोखिम का आकलन।

प्रायिकता के अतिरिक्त उदाहरण :

उदाहरण 3:

प्रश्न: एक बैग में 5 लाल, 3 हरे, और 2 नीले गेंद हैं। यदि बैग से एक गेंद निकाली जाती है, तो लाल गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल:
कुल गेंदों की संख्या = $5+3+2=10$
लाल गेंदों की संख्या = $5$

P(लाल गेंद)=लाल गेंदों की संख्याकुल गेंदों की संख्या=510=12P(\text{लाल गेंद}) = \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}P(लाल गेंद)=कुल गेंदों की संख्यालाल गेंदों की संख्या​=105​=21​

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उदाहरण 4:

प्रश्न: एक पासा फेंका जाता है। $3$ या उससे अधिक संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल:
नमूना स्थान: $\{1,2,3,4,5,6\}$
अनुकूल परिणाम: $\{3,4,5,6\}$ (कुल 4)
कुल परिणाम: $6$

P(3 या उससे अधिक)=46=23P(\text{3 या उससे अधिक}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}P(3 या उससे अधिक)=64​=32​

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उदाहरण 5:

प्रश्न: एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। हेड कम से कम एक बार आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल:
नमूना स्थान: $\{\text{HH, HT, TH, TT}\}$ (कुल 4 परिणाम)
अनुकूल परिणाम: $\{\text{HH, HT, TH}\}$ (कुल 3)

P(कम से कम एक हेड)=अनुकूल परिणामों की संख्याकुल परिणामों की संख्या=34P(\text{कम से कम एक हेड}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{4}P(कम से कम एक हेड)=कुल परिणामों की संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या​=43​

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उदाहरण 6:

प्रश्न: एक बैग में 8 गेंदें हैं, जिनमें 3 काले और 5 सफेद हैं। एक गेंद निकाली जाती है। सफेद गेंद न आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल:
कुल गेंदों की संख्या = $8$
सफेद गेंदें न आने का मतलब है काली गेंद आना।
काली गेंदों की संख्या = $3$

P(सफेद गेंद न आना)=38P(\text{सफेद गेंद न आना}) = \frac{3}{8}P(सफेद गेंद न आना)=83​

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उदाहरण 7:

प्रश्न: एक पासा दो बार फेंका जाता है। प्राप्त अंकों का योग $7$ आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल:
नमूना स्थान: $36$ (कुल परिणाम $6\times 6=36$)
अनुकूल परिणाम: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ (कुल 6)

P(योग 7)=अनुकूल परिणामों की संख्याकुल परिणामों की संख्या=636=16P(\text{योग 7}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}P(योग 7)=कुल परिणामों की संख्याअनुकूल परिणामों की संख्या​=366​=61​

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उदाहरण 8:

प्रश्न: एक बैग में 6 लाल, 4 हरे, और 5 नीले गेंदें हैं। यदि बैग से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है, तो नीली या हरी गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल:
कुल गेंदों की संख्या = $6+4+5=15$
नीली और हरी गेंदों की कुल संख्या = $5+4=9$

P(नीली या हरी)=नीली और हरी गेंदों की संख्याकुल गेंदों की संख्या=915=35P(\text{नीली या हरी}) = \frac{\text{नीली और हरी गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}P(नीली या हरी)=कुल गेंदों की संख्यानीली और हरी गेंदों की संख्या​=159​=53​

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उदाहरण 9:

प्रश्न: एक बैग में 10 कार्ड हैं, जिन पर $1$ से $10$ तक की संख्याएँ लिखी हुई हैं। यादृच्छिक रूप से एक कार्ड निकाला गया। विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल:
कुल कार्ड: $10$
विषम संख्या वाले कार्ड: $\{1,3,5,7,9\}$ (कुल $5$)

P(विषम संख्या)=510=12P(\text{विषम संख्या}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}P(विषम संख्या)=105​=21​

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उदाहरण 10:

प्रश्न: एक बैग में 12 गेंदें हैं, जिनमें से 7 नीली और 5 लाल हैं। बैग से एक गेंद निकाली गई और फिर उसे वापस डालकर दूसरी गेंद निकाली गई। दोनों बार लाल गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
हल:
प्रत्येक बार कुल गेंदों की संख्या $12$ रहती है।
पहली बार लाल गेंद आने की प्रायिकता = 512\frac{5}{12}125​
दूसरी बार लाल गेंद आने की प्रायिकता = 512\frac{5}{12}125​

P(दोनों बार लाल)=512×512=25144P(\text{दोनों बार लाल}) = \frac{5}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{25}{144}P(दोनों बार लाल)=125​×125​=14425​

 

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Chapter 14: सांख्यिकी