प्रायिकता (Probability) कक्षा 10वीं गणित

प्रायिकता (Probability) एक ऐसी शाखा है जो संभावनाओं और घटनाओं के घटित होने की संभावना को मापने और समझने में मदद करती है। इसे गणित और सांख्यिकी में व्यापक रूप से अध्ययन किया जाता है। कक्षा 10वीं के पाठ्यक्रम में, प्रायिकता को सरल और बुनियादी अवधारणाओं के साथ पढ़ाया जाता है, ताकि छात्रों को इसकी समझ विकसित हो सके।

प्रायिकता की परिभाषा

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना को मापने का एक तरीका है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
यदि कोई घटना $E$ है, तो उसकी प्रायिकता को निम्नलिखित सूत्र से व्यक्त किया जाता है:

P(E)=सफल घटनाओं की संख्याकुल संभावित परिणामों की संख्याP(E) = \frac{\text{सफल घटनाओं की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}P(E)=कुल संभावित परिणामों की संख्यासफल घटनाओं की संख्या​जहां:

• $P(E)$ = घटना $E$ की प्रायिकता
• सफल घटनाओं की संख्या = वे परिणाम जो घटना $E$ को संतोषजनक बनाते हैं
• कुल संभावित परिणामों की संख्या = सभी संभावित परिणाम

महत्वपूर्ण परिभाषाएँ

1. प्रयोग (Experiment):
   एक क्रिया जिसे कई बार दोहराया जा सकता है और जिसके परिणाम पहले से निश्चित नहीं होते, उसे प्रयोग कहते हैं। जैसे: सिक्का उछालना।
2. नमूना स्थान (Sample Space):
   किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का संग्रह नमूना स्थान कहलाता है। इसे $S$ द्वारा दर्शाया जाता है।
   • उदाहरण: एक सिक्का उछालने पर, $S=\{Head,Tail\}$।
3. घटना (Event):
   नमूना स्थान का कोई उपसमूह घटना कहलाता है।
   • उदाहरण: एक पासे को फेंकने पर $E=\{2,4,6\}$ (सम संख्याओं की घटना)।
4. सुनिश्चित घटना (Sure Event):
   वह घटना जो हमेशा घटित होती है, सुनिश्चित घटना कहलाती है।
   • उदाहरण: पासे पर 1 से 6 के बीच की संख्या आना।
5. असंभव घटना (Impossible Event):
   वह घटना जो कभी भी घटित नहीं हो सकती, असंभव घटना कहलाती है।
   • उदाहरण: पासे पर 7 का आना।

प्रायिकता के गुण

1. प्रा. हमेशा 0 और 1 के बीच होती है:$$0\le P(E)\le 1$$
2. सुनिश्चित घटना की प्रा. 1 होती है:$$P(\text{सुनिश्चित घटना})=1$$
3. असंभव घटना की प्रा. 0 होती है:$$P(\text{असंभव घटना})=0$$
4. किसी घटना और उसके पूरक घटना की प्रा. का योग 1 होता है:P(E)+P(E‾)=1P(E) + P(\overline{E}) = 1P(E)+P(E)=1जहां E‾\overline{E}E घटना $E$ का पूरक है।

उदाहरण

सिक्का उछालने का प्रयोग

एक सिक्का उछालने पर नमूना स्थान:

$$S=\{H,T\}$$जहां $H$ = हेड और $T$ = टेल।

• घटना:
  हेड आने की प्रा. $P(H)$ = सफल घटनाओं की संख्याकुल संभावित परिणामों की संख्या=12\frac{\text{सफल घटनाओं की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{2}कुल संभावित परिणामों की संख्यासफल घटनाओं की संख्या​=21​।
  टेल आने की प्रा. P(T)=12P(T) = \frac{1}{2}P(T)=21​।

पासा फेंकने का प्रयोग

एक पासे को फेंकने पर नमूना स्थान:

$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$

• घटना:
  सम संख्या (even number) आने की प्रा. : P(E)=सफल घटनाओं की संख्याकुल संभावित परिणामों की संख्या=36=12P(E) = \frac{\text{सफल घटनाओं की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}P(E)=कुल संभावित परिणामों की संख्यासफल घटनाओं की संख्या​=63​=21​ यहां $E=\{2,4,6\}$।

प्रश्न और उनके हल

प्रश्न 1:

एक बैग में 3 लाल गेंदें और 5 नीली गेंदें हैं। बैग से एक गेंद निकाली जाती है। लाल गेंद के आने की प्रा. ज्ञात करें।

हल:
कुल गेंदों की संख्या = $3+5=8$
लाल गेंद की संख्या = $3$
लाल गेंद के आने की प्रायिकता:

P(लाल)=लाल गेंदों की संख्याकुल गेंदों की संख्या=38P(\text{लाल}) = \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{3}{8}P(लाल)=कुल गेंदों की संख्यालाल गेंदों की संख्या​=83​

प्रश्न 2:

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। योग 7 आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:
नमूना स्थान में कुल परिणाम: $6\times 6=36$
योग 7 प्राप्त करने वाले जोड़े: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$
सफल घटनाओं की संख्या = $6$
योग 7 आने की प्रायिकता:

P(योग 7)=636=16P(\text{योग 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}P(योग 7)=366​=61​

प्रायिकता और दैनिक जीवन

प्रायिकता का उपयोग हमारे दैनिक जीवन में कई स्थानों पर होता है:

1. मौसम पूर्वानुमान (Weather Forecasting): बारिश होने या न होने की संभावना।
2. बीमा उद्योग: दुर्घटना या बीमारी के खतरे का अनुमान।
3. खेल: क्रिकेट या फुटबॉल में किसी टीम के जीतने की संभावना।
4. जुआ और लॉटरी: जीतने या हारने की संभावना का अनुमान।

महत्वपूर्ण सूत्र और बातें

1. प्रायिकता का मुख्य सूत्र:P(E)=सफल घटनाओं की संख्याकुल संभावित परिणामों की संख्याP(E) = \frac{\text{सफल घटनाओं की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}P(E)=कुल संभावित परिणामों की संख्यासफल घटनाओं की संख्या​
2. पूरक घटना की प्रायिकता:P(E‾)=1−P(E)P(\overline{E}) = 1 – P(E)P(E)=1−P(E)
3. P(E)+P(E‾)=1P(E) + P(\overline{E}) = 1P(E)+P(E)=1

अभ्यास प्रश्न

1. एक बैग में 4 लाल, 3 नीली, और 3 हरी गेंदें हैं। बैग से एक गेंद निकाली जाती है। हरी गेंद के आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
2. एक सिक्का 3 बार उछाला जाता है। सभी संभावित परिणामों का नमूना स्थान लिखें और सिर (Head) के 2 बार आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
3. एक पासे को फेंका जाता है। 3 या उससे कम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।
4. एक लॉटरी में 100 टिकट हैं, जिनमें से एक विजेता है। एक टिकट चुना जाता है। विजेता टिकट होने की प्रायिकता क्या है?
5. एक बैग में 5 सफेद और 7 काले गेंदें हैं। बैग से एक गेंद निकाली जाती है। काली गेंद के आने की प्रायिकता क्या होगी?

निष्कर्ष

प्रायिकता एक अत्यंत उपयोगी और व्यावहारिक विषय है जो न केवल गणित बल्कि हमारे दैनिक जीवन के निर्णयों को प्रभावित करता है। इसे समझने और अभ्यास करने से हम संभावनाओं को बेहतर तरीके से आंक सकते हैं और अपने निर्णयों को अधिक तर्कसंगत बना सकते हैं।

NCERT SOLUTIONS FOR CHAPTER 15