वृत्त Circle
परिचय (Introduction)
वृत्त Circle एक ऐसा ज्यामितीय आकृति है जिसमें किसी निश्चित बिंदु (जिसे केन्द्र कहते हैं) से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है। इस निश्चित दूरी को त्रिज्या (Radius) कहते हैं। वृत्त को परिभाषित करने वाले मुख्य तत्व इस प्रकार हैं:
- केन्द्र (Center): वह बिंदु जिससे सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं।
- त्रिज्या (Radius): केन्द्र से वृत्त की परिधि तक की दूरी।
- व्यास (Diameter): वृत्त के किसी भी दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा जो केन्द्र से होकर जाती है। व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है।
- परिधि (Circumference): वृत्त की बाहरी सीमा की लंबाई।
- ज्या (Chord): वृत्त की परिधि के किसी भी दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा खंड।
वृत्त के महत्त्वपूर्ण गुण (Properties of वृत्त Circle )
- त्रिज्या स्थिर होती है: वृत्त के सभी बिंदु केन्द्र से समान दूरी पर होते हैं।
- केन्द्र के सहारे बिंदु सममित होते हैं।
- वृत्त का व्यास उसकी सबसे बड़ी ज्या होती है।
- वृत्त के सभी व्यास समान होते हैं।
- केन्द्र से किसी ज्या पर डाला गया लंब एक ज्या को समद्विभाजित करता है।
महत्त्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important Definitions on वृत्त Circle )
- चाप (Arc): वृत्त की परिधि का कोई भी भाग चाप कहलाता है।
- यदि चाप वृत्त को दो भागों में विभाजित करता है, तो बड़ा भाग दीर्घ चाप (Major Arc) और छोटा भाग लघु चाप (Minor Arc) कहलाता है।
- खंड (Segment): ज्या द्वारा वृत्त को दो भागों में बाँटने पर बनने वाले क्षेत्र को खंड कहते हैं।
- समुदाय खंड (Major Segment): बड़ा भाग।
- लघु खंड (Minor Segment): छोटा भाग।
- केंद्रीय कोण (Central Angle): केन्द्र पर वृत्त की दो त्रिज्याओं के बीच का कोण।
- घेरा (Sector): वृत्त के दो त्रिज्याओं और उनके बीच की चाप से घिरा भाग।
- प्रमुख घेरा (Major Sector): बड़ा भाग।
- लघु घेरा (Minor Sector): छोटा भाग।
महत्त्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems)
1. स्पर्शरेखा प्रमेय (Tangent Theorem):
यदि किसी वृत्त पर एक स्पर्शरेखा खींची जाती है, तो वह स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंब होती है।
प्रमाण:
- मान लें कि वृत्त का केन्द्र O, त्रिज्या OP, और स्पर्शरेखा PQ हो।
- त्रिज्या OP और PQ के बीच का कोण 90° होगा।
2. दो स्पर्शरेखाओं के बीच कोण:
यदि वृत्त के किसी बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ खींची जाती हैं, तो वे स्पर्श बिंदुओं पर समान लंबाई की होती हैं।
प्रमाण:
- मान लें कि बाहरी बिंदु PP है और वृत्त पर स्पर्श बिंदु AA और BB हैं।
PA=PB
उपयोगिता और महत्त्व (Applications and Importance of वृत्त Circle )
- रोजमर्रा की जिंदगी में:
- चक्के, पाइप, और टायर की डिजाइनिंग में वृत्त का उपयोग होता है।
- इंजीनियरिंग और आर्किटेक्चर में।
- वैज्ञानिक शोध में:
- ग्रहों और उपग्रहों की कक्षाओं के अध्ययन में।
- विभिन्न यांत्रिक उपकरणों में।
- प्रतियोगी परीक्षाओं में:
- वृत्त से संबंधित प्रश्न प्रतियोगी परीक्षाओं में अक्सर पूछे जाते हैं।
वृत्त के वास्तविक जीवन में उपयोग (Real-Life Applications of वृत्त Circle )
वृत्त और उसके गुण न केवल गणित में बल्कि हमारे दैनिक जीवन में भी अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। नीचे वृत्त के कुछ प्रमुख वास्तविक जीवन उपयोग दिए गए हैं:
1. यांत्रिकी और इंजीनियरिंग (Mechanics and Engineering):वृत्त Circle
- चक्के और गियर:
गाड़ियों के चक्के, साइकिल के पहिए, और घड़ियों में गियर सभी वृत्ताकार होते हैं। उनकी परिधि की गणना गति और घूर्णन (rotation) को समझने में मदद करती है। - मशीनरी में घूमने वाले उपकरण:
पंखे, मोटर, और टरबाइन जैसे उपकरण वृत्तीय घूर्णन पर आधारित होते हैं।
2. निर्माण और आर्किटेक्चर (Construction and Architecture):वृत्त Circle
- गुंबद और मेहराब (Domes and Arches):
ऐतिहासिक इमारतों में गुंबद और मेहराब का निर्माण वृत्त की अवधारणाओं पर आधारित है। - वृत्तीय भवन:
स्टेडियम, गोलाकार थियेटर, और घुमावदार पुलों के डिज़ाइन में वृत्त की ज्यामिति उपयोगी होती है।
3. ग्रहों और खगोल विज्ञान (Astronomy):वृत्त Circle
- ग्रहों की कक्षाएँ (Planetary Orbits):
खगोलविद ग्रहों और उपग्रहों की वृत्तीय या दीर्घवृत्तीय कक्षाओं का अध्ययन करते हैं। - सूर्य और चंद्र ग्रहण:
ग्रहणों के दौरान चंद्रमा और पृथ्वी की वृत्तीय छाया का अध्ययन किया जाता है।
4. आधुनिक प्रौद्योगिकी (Modern Technology):वृत्त Circle
- डिजिटल इंटरफेस:
स्मार्टफोन, घड़ियाँ, और अन्य गैजेट्स में वृत्ताकार बटन, घड़ी के डायल, और अन्य डिज़ाइन उपयोग होते हैं। - संचार प्रणाली:
वृत्तीय एंटेना सिग्नल प्रसारण के लिए प्रभावी होते हैं।
5. कला और डिज़ाइन (Art and Design):वृत्त Circle
- गोलाकार डिजाइन:
वस्त्र डिज़ाइन, गहने (जैसे चूड़ियाँ), और सजावटी वस्तुओं में वृत्त का उपयोग होता है। - चित्रकला:
वृत्तीय आकृतियों का उपयोग मंडल कला (Mandala Art) और अन्य सजावटी चित्रों में होता है।
6. खेलकूद (Sports):वृत्त Circle
- मैदान और उपकरण:
क्रिकेट, फुटबॉल, और गोल्फ के मैदान में वृत्ताकार सीमा रेखाएँ होती हैं। डिस्कस और शॉट पुट जैसी गतिविधियों में वृत्ताकार रिंग का उपयोग होता है। - गोल खेल (Goal Games):
बास्केटबॉल और हॉकी के गोल पोस्ट वृत्तीय या अर्धवृत्तीय होते हैं।
7. परिवहन (Transportation):वृत्त Circle
- रेलवे और सड़क मोड़:
घुमावदार मोड़ों के डिज़ाइन में वृत्त का उपयोग होता है ताकि गाड़ियों और वाहनों की स्थिरता बनी रहे। - हवाई अड्डे और रनवे:
हवाई जहाज के टैक्सीवे और रनवे के मोड़ वृत्तीय डिज़ाइन पर आधारित होते हैं।
8. दैनिक उपयोग (Everyday Uses):वृत्त Circle
- घड़ियाँ:
घड़ी के डायल वृत्ताकार होते हैं, और समय पढ़ने के लिए परिधि पर चिह्नित संख्या उपयोग होती है। - पात्र और बर्तन:
प्लेट, कटोरी, और अन्य गोलाकार बर्तन दैनिक जीवन में वृत्त का उदाहरण हैं। - टायर और रिंग:
वाहनों के टायर और उंगली की रिंग वृत्त के उपयोग को दर्शाते हैं।
9. चिकित्सा और विज्ञान (Medicine and Science):वृत्त Circle
- एमआरआई और सीटी स्कैन:
इन मशीनों में शरीर के वृत्तीय और स्पाइरल कट की छवि का अध्ययन किया जाता है। - दवाओं की गोलियाँ:
गोलियाँ और कैप्सूल वृत्ताकार या गोलाकार होती हैं।
10. खगोल भौतिकी और समय का अध्ययन (Astrophysics and Time Measurement):वृत्त Circle
- समय मापन:
घड़ी के डायल पर घूमती सुइयाँ समय को दर्शाने के लिए वृत्तीय गति का उपयोग करती हैं। - सौर प्रणाली:
सौर मंडल के ग्रहों की कक्षाएँ वृत्तीय या दीर्घवृत्तीय होती हैं।
सारांश (Summary)
वृत्त गणित का एक महत्त्वपूर्ण विषय है। इसके गुण, प्रमेय, और सूत्रों को समझना न केवल परीक्षा के लिए बल्कि व्यावहारिक जीवन में भी उपयोगी है। यदि छात्र इन अवधारणाओं का अभ्यास करते हैं और उनकी समझ विकसित करते हैं, तो वे न केवल गणित में अच्छे अंक प्राप्त करेंगे बल्कि इसका व्यावहारिक उपयोग भी कर पाएंगे।
NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10TH MATHS CHAPTER 10
