त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग (Class 10th Maths)
त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है, जो त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच के संबंधों का अध्ययन करती है। इसका उपयोग विभिन्न वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में किया जाता है, जैसे कि ऊँचाई और दूरी का मापन, इमारतों की ऊँचाई का पता लगाना, और खगोल विज्ञान में। इस नोट्स में, हम त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग को विस्तार से समझेंगे।
1. त्रिकोणमिति की परिभाषा और मूलभूत अवधारणाएँ
त्रिकोणमिति शब्द दो ग्रीक शब्दों से बना है: “ट्राइ” (त्रिकोण) और “गोन” (कोण)। इसका मतलब है “त्रिभुजों के कोणों का अध्ययन।” त्रिकोणमिति में निम्नलिखित मुख्य त्रिकोणमितीय अनुपात होते हैं:
- साइन (sin θ): कोण θ के सामने की भुजा / कर्ण
- कोसाइन (cos θ): कोण θ के पास की भुजा / कर्ण
- टैन्जेंट (tan θ): कोण θ के सामने की भुजा / कोण θ के पास की भुजा
- कोसेकेंट (cosec θ): कर्ण / कोण θ के सामने की भुजा
- सेकेंट (sec θ): कर्ण / कोण θ के पास की भुजा
- कॉटैन्जेंट (cot θ): कोण θ के पास की भुजा / कोण θ के सामने की भुजा
त्रिकोणमिति में कोणों का मापन
- कोण डिग्री और रेडियन में मापे जाते हैं।
- सामान्यतः, कक्षा 10 में हम डिग्री प्रणाली का उपयोग करते हैं।
2. त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग
त्रिकोणमिति के वास्तविक जीवन में उपयोगों में ऊँचाई और दूरी की गणना सबसे प्रमुख है। इसे समझने के लिए हमें निम्नलिखित अवधारणाएँ जाननी होंगी:
(i) दृष्टि रेखा (Line of Sight)
यदि कोई व्यक्ति किसी वस्तु को देखता है, तो उसकी आँख से उस वस्तु तक खींची गई कल्पनिक रेखा को दृष्टि रेखा कहते हैं।
(ii) दृष्टि कोण (Angle of Elevation)
यदि वस्तु व्यक्ति के आँखों के स्तर से ऊपर स्थित हो, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बने कोण को दृष्टि कोण कहते हैं।
(iii) अवनमन कोण (Angle of Depression)
यदि वस्तु व्यक्ति के आँखों के स्तर से नीचे स्थित हो, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बने कोण को अवनमन कोण कहते हैं।
(iv) त्रिभुजों का उपयोग
ऊँचाई और दूरी की गणना के लिए, हम त्रिकोण के सिद्धांतों का उपयोग करते हैं, विशेष रूप से समकोण त्रिभुज में।
3. ऊँचाई और दूरी की समस्याएँ
त्रिकोणमिति का उपयोग करके हम निम्नलिखित प्रकार की समस्याओं को हल कर सकते हैं:
(a) इमारत या टॉवर की ऊँचाई ज्ञात करना
यदि किसी बिंदु से इमारत या टॉवर का दृष्टि कोण ज्ञात हो और बिंदु से इमारत की दूरी ज्ञात हो, तो त्रिकोणमिति के अनुपात का उपयोग करके ऊँचाई निकाली जा सकती है।
उदाहरण:
(c) अवनमन कोण का उपयोग
यदि कोई वस्तु किसी ऊँचाई पर खड़े व्यक्ति से नीचे देखी जाती है, तो अवनमन कोण का उपयोग किया जाता है।
उदाहरण:
20 मीटर ऊँचे टॉवर के शीर्ष से किसी बिंदु का अवनमन कोण 60° है। उस बिंदु की टॉवर से दूरी ज्ञात करें।
4. त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग की विशेषताएँ
- सटीक मापन:
त्रिकोणमिति का उपयोग करके ऊँचाई और दूरी का सटीक मापन किया जा सकता है। - वास्तविक जीवन में उपयोग:
यह निर्माण, खगोल विज्ञान, भौतिकी, और नेविगेशन जैसे क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोगी है। - आधुनिक अनुप्रयोग:
आजकल, त्रिकोणमिति का उपयोग जीपीएस, सेटेलाइट सिस्टम और इंजीनियरिंग डिज़ाइनों में भी किया जाता है।
5. अभ्यास प्रश्न
हल करने के लिए सवाल:
- किसी टॉवर के शीर्ष से, क्षैतिज के साथ दृष्टि का कोण 45° है। यदि टॉवर की ऊँचाई 60 मीटर है, तो टॉवर से उस बिंदु की दूरी ज्ञात करें।
- एक 100 मीटर लंबी ट्रेन के ऊपर से एक हवाई जहाज 60° के दृष्टि कोण पर दिख रहा है। हवाई जहाज की ऊँचाई ज्ञात करें।
- एक व्यक्ति 50 मीटर लंबी इमारत के शीर्ष को 30° के दृष्टि कोण से देखता है। व्यक्ति और इमारत के बीच की दूरी ज्ञात करें।
- समुद्र के किनारे खड़े लाइटहाउस का ऊपरी हिस्सा नाविक को 30° के कोण पर दिखाई देता है। यदि लाइटहाउस की ऊँचाई 40 मीटर है, तो नाव और लाइटहाउस के बीच की दूरी ज्ञात करें।
6. निष्कर्ष
त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग गणित के सबसे व्यावहारिक हिस्सों में से एक है। यह न केवल सैद्धांतिक रूप से महत्वपूर्ण है, बल्कि वास्तविक जीवन में भी बहुत उपयोगी है। ऊँचाई और दूरी का मापन इसके प्रमुख उपयोगों में से एक है। अभ्यास और अवधारणाओं की समझ से छात्र त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों में कुशल हो सकते हैं।
महत्वपूर्ण सूत्र:
- tan θ=सामने की भुजापास की भुजा\text{tan θ} = \frac{\text{सामने की भुजा}}{\text{पास की भुजा}}
- sin θ=सामने की भुजाकर्ण\text{sin θ} = \frac{\text{सामने की भुजा}}{\text{कर्ण}}
- cos θ=पास की भुजाकर्ण\text{cos θ} = \frac{\text{पास की भुजा}}{\text{कर्ण}}
NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10TH MATHS CHAPTER 9
