निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) – कक्षा 10 गणित

निर्देशांक ज्यामिति गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है, जिसमें बिंदुओं, रेखाओं और अन्य ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन किया जाता है, जिनकी स्थिति को x-अक्ष और y-अक्ष पर निर्दिष्ट किया जाता है। यह विषय गणित और वास्तविक जीवन में ज्यामिति को अधिक सटीक और गणनात्मक बनाने में सहायक है।

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निर्देशांक प्रणाली (Coordinate System)

निर्देशांक प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जो किसी बिंदु की स्थिति को दो संख्याओं (x और y) द्वारा दर्शाती है। इसे कार्तीय समन्वय प्रणाली (Cartesian Coordinate System) भी कहा जाता है। इसमें:

• x-अक्ष क्षैतिज रेखा होती है।
• y-अक्ष लंबवत रेखा होती है।
• दोनों अक्षें एक-दूसरे को एक बिंदु (जिसे मूलबिंदु कहते हैं) पर काटती हैं।

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कार्तीय समन्वय (Cartesian Coordinates)

किसी बिंदु की स्थिति को $(x,y)$ रूप में व्यक्त किया जाता है:

• $x$: क्षैतिज दूरी (मूलबिंदु से बिंदु तक की दूरी x-अक्ष पर)
• $y$: लंबवत दूरी (मूलबिंदु से बिंदु तक की दूरी y-अक्ष पर)

चतुर्थांश (Quadrants): कार्तीय समन्वय प्रणाली को चार भागों में विभाजित किया गया है:

1. प्रथम चतुर्थांश: x>0,y>0
2. द्वितीय चतुर्थांश: x<0,y>0
3. तृतीय चतुर्थांश: x<0,y<0
4. चतुर्थ चतुर्थांश: x>0,y<0x

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समीकरण और ज्यामितीय व्याख्या

1. रेखा का समीकरण (Equation of a Line): किसी रेखा का समीकरण y=mx+c के रूप में लिखा जाता है, जहां:
   • m: ढाल (slope) या प्रवणता
   • c: y-अवरोध (y-intercept)
2. ढाल का सूत्र (Slope Formula): यदि दो बिंदु A(x1,y1) और B(x2,y2) दिए गए हैं, तो ढाल m:

   m=y2−y1/x2 – x1​​

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प्रायोगिक उपयोग (Applications):

1. भौगोलिक स्थिति का पता लगाना: निर्देशांक प्रणाली का उपयोग नक्शों और जीपीएस सिस्टम में बिंदुओं की स्थिति जानने के लिए किया जाता है।
2. आधुनिक तकनीकी उपकरण: कंप्यूटर ग्राफिक्स, एनीमेशन, और इंजीनियरिंग डिज़ाइन में ज्यामितीय आकृतियों को समझने और डिज़ाइन करने के लिए।
3. भौतिक विज्ञान: वस्तुओं की गति और बलों का विश्लेषण निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करके किया जाता है।

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महत्वपूर्ण प्रश्न:

1. बिंदु A(2,3) और B(6,7) के बीच की दूरी ज्ञात करें।
2. यदि बिंदु A(1,2) और B(5,4)दिए गए हैं, तो बिंदु $P$, जो इन्हें 3:2 के अनुपात में विभाजित करता है, का निर्देशांक ज्ञात करें।
3. तीन बिंदु A(1,1), B(4,5), और C(6,2)द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

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निर्देशांक ज्यामिति के अनुप्रयोग (Applications of Coordinate Geometry)

निर्देशांक ज्यामिति गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में उपयोगी है। यह बिंदुओं, रेखाओं, और आकृतियों की स्थिति और उनके संबंधों को मापन और विश्लेषण के लिए एक सटीक उपकरण प्रदान करता है। इसके प्रमुख अनुप्रयोग निम्नलिखित हैं:

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1. वास्तुकला और इंजीनियरिंग (Architecture and Engineering)

निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग भवनों, पुलों, और अन्य संरचनाओं को डिजाइन करने में किया जाता है। इंजीनियरिंग ड्रॉइंग और कंप्यूटर-एडेड डिज़ाइन (CAD) सॉफ़्टवेयर का उपयोग करके वस्तुओं को सटीकता से बनाया और मापा जाता है।

2. भौगोलिक सूचना प्रणाली (GIS) और मानचित्रण

• स्थान और भौगोलिक क्षेत्रों को सटीक रूप से पहचानने के लिए निर्देशांक प्रणाली का उपयोग किया जाता है।
• गूगल मैप्स और जीपीएस जैसे उपकरण किसी स्थान की स्थिति जानने और मार्गों का पता लगाने में निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करते हैं।

3. खगोल विज्ञान (Astronomy)

• ग्रहों, तारों, और आकाशीय पिंडों की स्थिति का पता लगाने के लिए निर्देशांक प्रणाली का उपयोग किया जाता है।
• खगोलशास्त्री निर्देशांक का उपयोग करके अंतरिक्ष यान और उपग्रहों की कक्षाओं का निर्धारण करते हैं।

4. भौतिकी और यांत्रिकी (Physics and Mechanics)

• वस्तुओं की गति, बल, और वेग का विश्लेषण करने के लिए निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।
• यह वस्तुओं के प्रक्षेप पथ (trajectory) की गणना में सहायक है, जैसे कि मिसाइलों और प्रोजेक्टाइल का अध्ययन।

5. कंप्यूटर ग्राफिक्स (Computer Graphics)

• 2D और 3D ग्राफिक्स को डिज़ाइन और प्रस्तुत करने में निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।
• वीडियो गेम, एनीमेशन, और आभासी वास्तविकता (Virtual Reality) में इसका व्यापक उपयोग है।

6. अर्थशास्त्र और डेटा विज़ुअलाइज़ेशन (Economics and Data Visualization)

• ग्राफ़, चार्ट और अन्य दृश्य डेटा का निर्माण करने के लिए निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।
• सांख्यिकी और डेटा विश्लेषण में बिंदुओं और रेखाओं का अध्ययन आम है।

7. रोबोटिक्स (Robotics)

• रोबोट की गति और स्थिति का अध्ययन करने में निर्देशांक ज्यामिति मददगार है।
• रोबोटिक आर्म्स की हरकतें, सटीक स्थान पर काम करने के लिए निर्देशांक प्रणाली का अनुसरण करती हैं।

8. ड्रोन नेविगेशन (Drone Navigation)

ड्रोन की उड़ान और उसकी सटीक स्थिति की गणना के लिए निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग किया जाता है।

9. खनन और सर्वेक्षण (Mining and Surveying)

• खनिज संसाधनों और भूगर्भीय संरचनाओं की पहचान और मानचित्रण के लिए निर्देशांक प्रणाली का उपयोग किया जाता है।
• भूमि की सटीक माप और सीमाओं का निर्धारण किया जाता है।

10. चिकित्सा क्षेत्र (Medical Imaging)

• एक्स-रे, सीटी स्कैन, और एमआरआई में बिंदुओं और रेखाओं की गणना के लिए निर्देशांक प्रणाली उपयोगी है।
• ट्यूमर और अन्य स्वास्थ्य समस्याओं के स्थान को पहचानने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

सारांश

निर्देशांक ज्यामिति गणित और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में एक बुनियादी उपकरण है। इसकी मदद से हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों का विश्लेषण और गणना कर सकते हैं। दूरी, क्षेत्रफल, ढाल, और बिंदुओं के विभाजन जैसे अवधारणाओं को समझना कक्षा 10 की गणित में आवश्यक है।

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10TH MATHS CHAPTER 7

Chapter 8:त्रिकोणमिति का परिचय

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