पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Class 10th Mathematics)
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है, जिसमें ठोस वस्तुओं के सतह के क्षेत्रफल और उनके द्वारा घेरे गए स्थान की गणना की जाती है। यह अध्याय गणित की रोजमर्रा की ज़िंदगी में महत्वपूर्ण उपयोगिता रखता है। यहां हम इस अध्याय के मुख्य विषयों पर विस्तार से चर्चा करेंगे।
1. पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
पृष्ठीय क्षेत्रफल का अर्थ किसी ठोस वस्तु की सतह के कुल क्षेत्रफल से है। यह ठोस आकृतियों जैसे घन, घनाभ, सिलिंडर, शंकु, गोला, आदि के लिए भिन्न-भिन्न सूत्रों से निकाला जाता है।
(a) घन (Cube) का पृष्ठीय क्षेत्रफल
घन की सभी भुजाएं समान होती हैं।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) = 6a26a^2
जहां aa घन की भुजा है।
(b) घनाभ (Cuboid) का पृष्ठीय क्षेत्रफल
घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई भिन्न होती हैं।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb+bh+hl)2(lb + bh + hl)
जहां ll लंबाई, bb चौड़ाई, और hh ऊंचाई है।
(c) सिलिंडर (Cylinder) का पृष्ठीय क्षेत्रफल
सिलिंडर में दो वृत्तीय आधार और एक घुमावदार सतह होती है।
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area) = 2πrh2\pi rh
- पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) = 2πr(h+r)2\pi r(h + r)
जहां r आधार का त्रिज्या और h सिलिंडर की ऊंचाई है।
(d) शंकु (Cone) का पृष्ठीय क्षेत्रफल
शंकु में एक वृत्तीय आधार और एक घुमावदार सतह होती है।
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl\pi rl
- पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l+r)\pi r(l + r)
जहां rr त्रिज्या और ll तिर्यक ऊंचाई (slant height) है।
तिर्यक ऊंचाई, पायथागोरस प्रमेय से निकाली जाती है:
l=h2+r2l = \sqrt{h^2 + r^2}
(e) गोला (Sphere) का पृष्ठीय क्षेत्रफल
गोला एक पूर्ण वृत्ताकार ठोस आकृति है।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr24\pi r^2
जहां rr गोले की त्रिज्या है।
(f) गोलाभ (Hemisphere) का पृष्ठीय क्षेत्रफल
गोलाभ गोले का आधा हिस्सा होता है।
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr22\pi r^2
- पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr23\pi r^2
2. आयतन (Volume)
आयतन का अर्थ किसी ठोस आकृति द्वारा घेरे गए स्थान से है। इसे घन इकाइयों (cubic units) में मापा जाता है। अलग-अलग ठोस आकृतियों के लिए आयतन का सूत्र अलग होता है।
(a) घन (Cube) का आयतन
घन की सभी भुजाएं समान होती हैं।
- आयतन = a3a^3
जहां aa घन की भुजा है।
(b) घनाभ (Cuboid) का आयतन
घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई अलग-अलग होती हैं।
- आयतन = l×b×hl \times b \times h
(c) सिलिंडर (Cylinder) का आयतन
सिलिंडर में दो वृत्तीय आधार और एक ऊंचाई होती है।
- आयतन = πr2h\pi r^2 h
जहां rr त्रिज्या और hh ऊंचाई है।
(d) शंकु (Cone) का आयतन
शंकु एक नुकीली ठोस आकृति है।
- आयतन = 13πr2h\frac{1}{3} \pi r^2 h
(e) गोला (Sphere) का आयतन
गोला एक पूर्ण वृत्ताकार ठोस आकृति है।
- आयतन = 43πr3\frac{4}{3} \pi r^3
(f) गोलाभ (Hemisphere) का आयतन
गोलाभ गोले का आधा होता है।
- आयतन = 23πr3\frac{2}{3} \pi r^3
3. ठोस आकृतियों का संयोजन (Combination of Solids)
अक्सर ठोस आकृतियां एक या अधिक मूल आकृतियों के संयोजन से बनती हैं। इन आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना के लिए निम्नलिखित विधियां अपनाई जाती हैं:
(a) संयुक्त पृष्ठीय क्षेत्रफल
संयुक्त आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए उनकी सभी सतहों के क्षेत्रफलों को जोड़ा जाता है।
(b) संयुक्त आयतन
संयुक्त आकृतियों का आयतन उनकी सभी ठोस आकृतियों के आयतनों का योग होता है।
उदाहरण:
यदि एक ठोस आकृति में शंकु और सिलिंडर जुड़े हों, तो:
- कुल आयतन = शंकु का आयतन + सिलिंडर का आयतन
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = सिलिंडर और शंकु की दृश्यमान सतहों का क्षेत्रफल
6. उपयुक्तता
- वास्तुकला और निर्माण में पृष्ठीय क्षेत्रफल का उपयोग भवनों की पेंटिंग और टाइलिंग के लिए होता है।
- आयतन का उपयोग तरल पदार्थों के भंडारण और कंटेनरों की क्षमता मापने में किया जाता है।
- इंजीनियरिंग और भौतिकी में विभिन्न उपकरणों के डिजाइन के लिए इन गणनाओं का प्रयोग किया जाता है।
निष्कर्ष
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन गणित के महत्वपूर्ण भाग हैं, जो जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी हैं। यह अध्याय हमें ठोस आकृतियों की भौतिक विशेषताओं को समझने और उन्हें मापने में सक्षम बनाता है। नियमित अभ्यास और सूत्रों की समझ से इस अध्याय में महारत हासिल की जा सकती है।
NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10TH MATHS CHAPTER 13
