रचनाएँ (Constructions)

रचनाएँ ( Constructions )

रचनाएँ ( Constructions ), गणित में, रचनाओं का अध्ययन रेखाचित्रों को सटीक और सही तरीके से बनाना है। इस अध्याय में, हम ज्यामितीय यंत्रों की मदद से रचनाएँ करेंगे, जैसे कि परकार, स्केल (पटरी), और कोण मापक यंत्र (प्रोट्रैक्टर)। कक्षा 10वीं के पाठ्यक्रम में रचनाओं से जुड़े कुछ मुख्य प्रकार के प्रश्न आते हैं:

1. किसी रेखाखंड का एक निर्धारित अनुपात में विभाजन करना।
2. किसी दिए गए कोण के समरूप कोण का निर्माण।
3. किसी दिए गए त्रिभुज के समान त्रिभुज बनाना।

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आवश्यक यंत्र

1. पटरी (Scale): लंबाई मापने और रेखाएं खींचने के लिए।
2. परकार (Compass): वृत्त और चाप खींचने के लिए।
3. प्रोट्रैक्टर (Protractor): कोण मापने के लिए।
4. पेन्सिल (Pencil): रेखाचित्र खींचने के लिए।

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महत्वपूर्ण नियम

1. सटीकता: ज्यामितीय रचनाओं में सटीकता सबसे महत्वपूर्ण होती है। पटरी और परकार का सही उपयोग अनिवार्य है।
2. परिभाषा और सिद्धांत: हर रचना का आधार ज्यामितीय परिभाषा और सिद्धांत होते हैं।
3. अनुपात: समान त्रिभुज या रेखाखंड के विभाजन में दिए गए अनुपात को ध्यानपूर्वक समझना चाहिए।

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मुख्य प्रकार की रचनाएँ ( Constructions )

1. किसी रेखाखंड का एक निश्चित अनुपात में विभाजन

प्रक्रिया:

1. एक रेखाखंड $AB$ लें।
2. रेखाखंड $AB$ के किसी एक छोर $A$ से कोई एक कोण बनाएं और इस पर $n+m$ समान लंबाई वाले खंडों को चिह्नित करें (जहां $n:m$ अनुपात है)।
3. अंतिम बिंदु को $C$ नाम दें।
4. बिंदु $B$ और $C$ को मिलाकर रेखा खींचें।
5. परकार का उपयोग करके समानांतर रेखाएं बनाएं, जिससे $AB$ बिंदुओं में विभाजित हो।

उदाहरण:रचनाएँ ( Constructions )

यदि रेखा $AB=10\text{cm}$ है और इसे $2:3$ अनुपात में विभाजित करना है, तो $AB$ के $2+3=5$ भाग बनाएं। पहले $2$ भागों को लें और अगले $3$ भागों को अलग करें।

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2. समान कोण का निर्माण (Angle Bisector)

प्रक्रिया:

1. एक कोण $\angle BAC$ लें।
2. परकार का केंद्र $A$ पर रखें और $\angle BAC$ पर चाप खींचें, जो दोनों भुजाओं को क्रमशः $D$ और $E$ पर काटे।
3. $D$ और $E$ से परकार का उपयोग कर चाप खींचें, जो आपस में $F$ पर मिलें।
4. बिंदु $F$ और $A$ को मिलाकर रेखा खींचें। यह रेखा कोण को समरूप विभाजित करेगी।

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3. समान त्रिभुज का निर्माण:रचनाएँ ( Constructions )

प्रक्रिया:

1. एक त्रिभुज $ABC$ दिया गया हो।
2. रेखा $BC$ के किसी एक छोर पर एक कोण बनाएँ और इस पर $n+m$ समान लंबाई के खंड बनाएं।
3. बिंदुओं को क्रमशः B1,B2,…,Bn+mB_1, B_2, \ldots, B_{n+m}B1​,B2​,…,Bn+m​ नाम दें।
4. $m$ खंडों तक के बिंदु को $D$ नाम दें।
5. $B$ और $D$ को मिलाकर त्रिभुज के बाकी भुजाओं पर समानांतर रेखाएं खींचें।

उदाहरण:

यदि $ABC$ एक त्रिभुज है और इसका समान त्रिभुज $DEF$ बनाना है, जहां DEAB=34\frac{DE}{AB} = \frac{3}{4}ABDE​=43​, तो $BC$ पर 4 खंड बनाकर पहले 3 खंडों तक की रचना करें।

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उपयोग और अनुप्रयोग:रचनाएँ ( Constructions )

1. इंजीनियरिंग और वास्तुकला: रचनाएँ भवन और पुलों के डिज़ाइन में मदद करती हैं।
2. गणितीय विश्लेषण: त्रिभुज और अन्य आकृतियों की ज्यामितीय विशेषताओं को समझने के लिए।
3. व्यावहारिक समस्याएँ: समानांतर रेखाएं, कोण, और त्रिभुज विभाजन रोज़मर्रा के जीवन में उपयोगी होते हैं।

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प्रश्नावली

उदाहरण 1:

प्रश्न: एक रेखाखंड $AB=8\text{cm}$ है। इसे $3:5$ अनुपात में विभाजित करें।
उत्तर:

1. $AB$ पर एक कोण बनाएं और $3+5=8$ खंड बनाएं।
2. पहले 3 खंडों और बाद के 5 खंडों को विभाजित करें।
3. परिणामस्वरूप $AB$ बिंदु $P$ पर विभाजित होगा, जहां $AP:PB=3:5$।

उदाहरण 2:

प्रश्न: त्रिभुज $PQR$ का समान त्रिभुज बनाएं, जहां नए त्रिभुज की भुजाएंमूल त्रिभुज की भुजाएं=23\frac{\text{नए त्रिभुज की भुजाएं}}{\text{मूल त्रिभुज की भुजाएं}} = \frac{2}{3}मूल त्रिभुज की भुजाएंनए त्रिभुज की भुजाएं​=32​।
उत्तर:

1. रेखा $QR$ के किनारे $2+3=5$ खंड बनाएं।
2. बिंदुओं को जोड़ते हुए समान त्रिभुज की रचना करें।

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सुझाव

• सभी रेखाचित्र साफ और सटीक होने चाहिए।
• परकार और पटरी का सही उपयोग सुनिश्चित करें।
• ज्यामितीय सिद्धांतों का पालन करें।

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सारांश

रचनाओं का अध्ययन एक महत्वपूर्ण विषय है जो न केवल गणित में बल्कि व्यावहारिक जीवन में भी अत्यंत उपयोगी है। इस अध्याय में ज्यामिति के सिद्धांतों के आधार पर रेखाचित्र तैयार किए जाते हैं। उचित अभ्यास और सटीकता के साथ, इस अध्याय के प्रश्नों को हल करना आसान है।

NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10TH MATHS CHAPTER 11

 

Chapter 12 : वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल

 

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