समान्तर श्रेणी (Arithmetic Progression – AP)
परिभाषा:
समान्तर श्रेणी (Arithmetic Progression, AP) वह श्रेणी होती है जिसमें लगातार दो संख्याओं के बीच का अंतर (अंतराल) सदैव समान रहता है। इसे सामान्यतः इस प्रकार लिखा जा सकता है:
a,a+d,a+2d,a+3d,…
यहां,
- a = प्रथम पद (First term)
- d = समानांतर अंतराल या अंतर (Common difference)
समान्तर श्रेणी का सामान्य रूप
किसी भी समान्तर श्रेणी का nn-वां पद (nth term) निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:
an=a+(n−1)d
जहां,
- an= श्रेणी का n-वां पद
- a = प्रथम पद
- d = समानांतर अंतर
- n = पद की संख्या
समान्तर श्रेणी का योग (Sum of Arithmetic Progression)
किसी समान्तर श्रेणी के पहले nn पदों का योग निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात किया जा सकता है:
Sn=n2[2a+(n−1)d]
यह सूत्र तब उपयोगी होता है जब हमें n, , और ज्ञात हों।
यदि अंतिम पद (an) ज्ञात हो, तो योग इस प्रकार निकाला जा सकता है:
Sn=n2(a+an)S
जहां,
- Sn = पहले पदों का योग
- a = प्रथम पद
- an = अंतिम पद
समान्तर श्रेणी की विशेषताएँ
- समानांतर अंतर:
किसी भी दो लगातार पदों का अंतर सदैव समान होता है।d=a2−a1=a3−a2….
- रेखीय वृद्धि:
समान्तर श्रेणी में पदों का मान क्रमशः रेखीय रूप से बढ़ता या घटता है। - मध्य पद:
यदि किसी समान्तर श्रेणी में कुल पदों की संख्या विषम हो, तो मध्य पद संपूर्ण श्रेणी के योग का आधा होता है।
उदाहरण 2: समान्तर श्रेणी के पहले पदों का योग
प्रश्न: किसी समान्तर श्रेणी में प्रथम पद a=7a = 7, समानांतर अंतर d=4d = 4 है। पहले 12 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
अभ्यास प्रश्न
- श्रेणी 2,5,8,11,…2, 5, 8, 11, \dots में 15वां पद ज्ञात करें।
- यदि समान्तर श्रेणी के पहले तीन पद 3,7,113, 7, 11 हों, तो 20वें पद का मान ज्ञात करें।
- श्रेणी 12,15,18,…12, 15, 18, \dots के पहले 10 पदों का योग ज्ञात करें।
- a=4,d=6a = 4, d = 6 के लिए पहले 25 पदों का योग ज्ञात करें।
समान्तर श्रेणी के वास्तविक जीवन में उपयोग
- संपत्ति वितरण: यदि किसी व्यक्ति के पास धनराशि समान अंतराल में बंटनी हो, तो इसका उपयोग समान्तर श्रेणी के रूप में किया जा सकता है।
- सारणी गणना: टेबल, सीढ़ी के चरण, आदि समान अंतराल में बनाए जाते हैं।
- मूल्य वृद्धि: किसी वस्तु के मूल्य में रेखीय वृद्धि या घटाव समान्तर श्रेणी का पालन कर सकती है।
समान्तर श्रेणी गणित का एक महत्वपूर्ण भाग है, जो विभिन्न परीक्षाओं में पूछे जाने वाले सवालों के लिए उपयोगी है। इसे गहराई से समझने के लिए सूत्रों का अभ्यास और विभिन्न प्रश्नों को हल करना आवश्यक है।
समान्तर श्रेणी (Arithmetic Progression) के अनुप्रयोग (Applications)
समान्तर श्रेणी का उपयोग गणित के साथ-साथ दैनिक जीवन के कई क्षेत्रों में किया जाता है। नीचे कुछ महत्वपूर्ण अनुप्रयोग दिए गए हैं:
1. वित्त और निवेश में
समान्तर श्रेणी का उपयोग वित्तीय लेनदेन और निवेश में किया जाता है।
उदाहरण:
- किसी निवेश योजना में हर वर्ष निश्चित राशि का निवेश किया जाए, तो कुल निवेश की गणना समान्तर श्रेणी के योग के रूप में की जा सकती है।
2. संपत्ति और किराये का वितरण
उदाहरण:
- यदि किसी संपत्ति का वितरण समान अंतराल से हो या किसी स्थान का किराया हर वर्ष एक निश्चित राशि से बढ़ाया जाए, तो इसे समान्तर श्रेणी के रूप में दर्शाया जा सकता है।
3. खेलकूद और दौड़ प्रतियोगिता में
उदाहरण:
- एथलीटों की दौड़ में दूरी को समान अंतराल से बढ़ाते हुए अभ्यास कराया जाता है।
4. निर्माण और इंजीनियरिंग में
उदाहरण:
- सीढ़ियों के चरणों का निर्माण समान अंतराल पर किया जाता है। समान्तर श्रेणी का उपयोग चरणों की कुल लंबाई या ऊंचाई की गणना में किया जाता है।
5. शिक्षा और अभ्यास कार्यक्रम में
उदाहरण:
- विद्यार्थियों के अध्ययन कार्यक्रम में प्रति दिन पढ़ाई के समय को समान अंतराल से बढ़ाने के लिए समान्तर श्रेणी का उपयोग किया जा सकता है।
6. भौतिकी में दूरी और समय की गणना
उदाहरण:
- यदि एक वस्तु समान त्वरण से गति करती है, तो उसकी दूरी समान्तर श्रेणी के रूप में होती है।
7. सारणी और तालिकाओं में
उदाहरण:
- किसी डेटा तालिका में समान अंतराल पर मान दर्ज होते हैं।
8. जनसंख्या वृद्धि या कमी में
उदाहरण:
- किसी शहर की जनसंख्या में हर साल समान वृद्धि या कमी को समान्तर श्रेणी से मापा जा सकता है।
यदि किसी शहर की वर्तमान जनसंख्या 50,000 है और हर साल इसमें 2000 की वृद्धि होती है, तो 10 वर्षों बाद जनसंख्या कितनी होगी?
निष्कर्ष
समान्तर श्रेणी का उपयोग गणितीय समस्याओं को हल करने के साथ-साथ वास्तविक जीवन की परिस्थितियों में गणना और योजना बनाने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग वित्तीय प्रबंधन, खेल, भौतिकी, इंजीनियरिंग, और शिक्षा में बड़े पैमाने पर होता है।
NCERT SOLUTIONS FOR CLASS 10TH MATHS CHAPTER 5
